PROGRAMA DE TRIGONOMETRIA

SEMANA	MES	TEMAS Y SUBTEMAS
15-20	FEBRERO	Repaso
22-27	FEBRERO	Repaso
29-5	FEBRERO/MARZO	Repaso
7-12	MARZO	Las Funciones Trigonométricas O Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente, haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos siempre con la Calculadora. Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del Triángulo. Empezaremos a ver cada una de las Funciones: 1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente: 2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente: 3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente: También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores: 4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto: 5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente: 6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:
14-19	MARZO	Sistema de medidas de ángulos Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian. Sexagesimal Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman grado sexagesimal. y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º. Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo notaron por 1''. Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''. Centesimal La medida de ángulos centesimal se adopto con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100 g. Y le llama gradian. A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1s. Las operaciones son análogas a las sexagesimales pero más fáciles al usar un sistema de base 100. Radianes Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Como la longitud de la circunferencia es 2 p r, la medida en radianes de un ángulo completo será 2pr/r = 2 p. Por lo que podemos escribir: 360º = 400g =2 p Equivalencia que nos permite pasar de un sistema de medida a otro, utilizaremos los grados sexagesimales y el radian. Ejemplo.- ¿Cuántos radianes son 45º? Solución. Ejemplo.- ¿Cuántos grados son p/3 radianes? Solución. Ejercicio.- Completa la siguiente tabla: grados sexagesimales 180º 225º 60º 45º radianes p/2 3p/2 p/6
22-26	MARZO	Definición delas funciones  en los triángulos Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto). Funciones trigonométricas en el plano cartesiano de ángulos agudos Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo. b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b Estas relaciones dependen del ángulo θ y no del tamaño del triángulo. Si dos triángulos tienen ángulos iguales son semejantes y sus lados son proporcionales. Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc. Por ejemplo sen θ indica la relación b/c respecto a θ. Si θ es el ángulo agudo del triángulo rectángulo entonces: Sen θ = b/c Cos θ = a/c Tan θ = b/a Cot θ = a/b Sec θ = c/a Csc θ = c/b El dominio de cada una de las funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos. Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacente, cateto opuesto e hipotenusa. Es decir: Sen θ = c. opuesto/hipotenusa Cos θ = c. adyacente/hipotenusa Tan θ = c. opuesto/c. adyacente Cot θ = c. adyacente/c. opuesto Sec θ = hipotenusa/c. adyacente Csc θ = hipotenusa/c. opuesto Los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo θ. Seno y cosecante son recíprocas entre sí. Coseno y secante son recíprocas entre sí. Tangente y cotangente son recíprocas entre sí. Sen θ = 1/csc Cos θ = 1/sec Tan θ = 1/cot Cot θ = 1/tan Sec θ = 1/cos Csc θ = 1/sen EJEMPLO Si el ángulo θ es agudo y cos θ = 3/5, calcula el valor de las seis funciones trigonométricas de θ. Cateto adyacente = 3 Hipotenusa = 5 Aplicando el teorema de Pitágoras: 32 + (c. opuesto)2 = 52 (c. opuesto)2 = 52 – 32 (c. opuesto)2 = 16 Cateto opuesto = 4 Las funciones trigonométricas de este triángulo son las siguientes: Sen θ = 4/5 Cos θ = 3/5 Tan θ = 4/3 Cot θ = 3/4 Sec θ = 5/3 Csc θ = 5/4 NOTA: Las calculadoras científicas tienen teclas como SIN, COS y TAN que se pueden usar para calcular los valores de esas funciones, antes de utilizar la calculadora para determinar los valores de funciones hay que seleccionar el modo grados o radián según nuestro ángulo. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Al hacer las gráficas de las funciones trigonométricas siempre suponemos que los ángulos están en radianes. EJEMPLO Graficas de las siguientes funciones trigonométricas en el plano cartesiano Y = sen t Y = cos t Y = tan t Y = cot t Y = sec t y = csc t - See more at: http://matematicasmodernas.com/funciones-trigonometricas-en-el-plano-cartesiano/#sthash.xiKfYGuJ.dpuf
28-2	MARZO-ABRIL	Ángulos notables
4-9	ABRIL	Empleo de calculadora  científica –evaluación de funciones
11-16	ABRIL	Representación grafica  de las funciones trigonométrica Representación Gráfica de las Funciones Trigonométricas   Representación gráfica de una función periódica En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquel en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período. Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares. Las funciones trigonométricas seno, coseno típicos de funciones periódicas, cuyo período es 360 grados. En el caso de la tangente, vemos que su periodo es menor, siendo 180 grados. Función Seno Función coseno Funcion Tangente Función Cotagente Función Secante Función cosecante   s
18-23	ABRIL	Resolución de triángulos rectángulos 1 Se conocen la hipotenusa y un cateto: Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo: a = 415 m y b = 280 m. sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′ C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m 2 Se conocen los dos catetos: Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo: b = 33 m y c = 21 m . tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′ C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′ a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m 3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo: a = 45 m y B = 22°. C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m 4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo: Ejemplo: Resolver el triángulo conociendo: b = 5.2 m y B = 37º C = 90° - 37° = 53º a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

25-30	ABRIL	Problemas de aplicación (Angulo de elevación y  depresión) Ángulos de elevación y depresión Frecuentemente resulta inconveniente o imposible medir distancias o ángulos directamente. Un ingeniero, un topógrafo, un astrónomo y un agrimensor, por ejemplo, cuando halla la altura de una colina o el curso exacto de un túnel en construcción, o la posición y la distancia entre dos estrellas, emplea ciertos instrumentos para medir indirectamente ángulos y distancias correspondientes a puntos inaccesibles, y luego aplica los principios básicos de trigonometría. Ejemplo: h = ? d = 30 m o = 40° Para medir la altura h de un edificio, utilizamos las tablas trigonométricas o la calculadora científica y, la razón trigonométrica tan , esto es, tan = tan 40° = Luego, tan 40° = 0, 839099631… entonces, h = 30 tan 40° h = 25,17 m La altura del edificio es 25,17 m aproximadamente Ejemplo: Un faro tiene una altura que mide 55 m. El ángulo de depresión desde la cima del faro hasta el barco en el mar es de 72°. ¿Qué tan lejos de la base del faro está el barco? Si x representa a la distancia, entonces: tan 72° = x = Luego, tan 72° = 3,077683537… por tanto, x = 17, 87 m * La distancia aproximada entre el barco y la base de la torre es de 17,87 m. Ejemplo:Una grúa que mide 2,5 m de alto; forma un ángulo de elevación de 21° con su palanca. El piso es horizontal. La grúa se encuentra a 100 m de la recta perpendicular a la palanca. Determinemos la medida de la altura desde el suelo hasta el punto más alto de la palanca. tan 21° = x = 100 tan 21° para hallar la longitud de x Luego, tan 21° = 0, 383864035… por tanto, x = 38, 38 m h = altura de la grúa + x h = 2, 5 + 38, 38 para hallar la longitud de h Por tanto, h = 40, 88 m EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios: 1. El edificio más alto del mundo es la torre SEARS ubicada en la ciudad de Chicago, Illinois, E.U.A. Proyecta una sombra de 950 m cuándo el ángulo de elevación de los rayos solares es de 25°, ¿Cuál es la altura del edificio? 2. En la ciudad de Paris, Francia, se encuentra la torre Eiffel. En 1959 se instalo en lo alto de dicha torre una antena para radio y televisión de 20, 24 m de altura. Cuando el ángulo de elevación de los rayos solares es de 55°, la sombra proyectada por el conjunto es de 224, 61 m. ¿Cuál era la altura original de la torre Eiffel? 3. Determinar la medida de la altura de un edificio, sabiendo que cuando los rayos del sol forman un ángulo de depresión de 60° con dicho edificio, su sombra proyectada sobre el piso horizontal mide 60 m 4. El ángulo de elevación de un barco a la Cúspide de un faro de 50 m de alto, situado en la costa, mide 13°. ¿Qué tan lejos de la costa se encuentra el barco?
2-7	MAYO	Leyes del Seno y Coseno Teorema o ley del seno Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Ejercicios De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos. Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m. Teorema o ley del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. Ejemplos Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados. El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m. Teorema o ley de la tangente Si A y B son ángulos de un triángulo y sus lados correspondientes son a y b, se cumple que:
10-14	MAYO	Resolución de triángulos oblicuángulos Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y delcoseno. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos deresolución de triángulos oblicuángulos: 1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos. 2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos. 3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder: 1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m. Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado. 2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m. 3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m. 4º. Conociendo los tres lados Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
16-21	MAYO	Problemas de aplicación
23-28	MAYO	Identidades y Ecuaciones Identidades Trigonométricas Objetivos Haciendo uso de las identidades trigonométricas cada estudiante simplificará expresiones trigonométricas con un mínimo de error. Haciendo uso de las identidades trigonométricas básicas cada estudiante verificará identidades trigonométricas con un mínimo de error. Introducción En esta lección revisaremos las propiedades de las funciones trigonométricas que estudiamos anteriormente, desde el punto de vista algebraico. Utilizaremos estas propiedades para simplificar expresiones y para verificar identidades, ambas trigonométricas. Las identidades trigonométricas nos ayudan a simplificar expresiones complejas y de esta forma a comprender mejor el significado de la expresión. Identidades Trigonométricas Fundamentales Una Identidad Trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de la variable. En la lección El Círculo Unitario y las Funciones Seno y Coseno estudiamos algunas identidades fundamentales, las cuales las podemos resumir en la siguiente tabla: 1 $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 2 $cos$ -α = cos α 3 $sen$ -α = - sen α 4 $sen$ 180 - α = sen α 5 $cos$ 180 - α = - cos α 6 $cos$ 180 + α = - cos α 7 $sen$ 180 + α = - sen α Simplificación de Expresiones Trigonométricas Ejemplo 1: Simplificar: $sen$ x cos2 x - sen x Solución: $sen$ x cos2 x - sen x Factorizando sen(x) $sen$ x ( cos 2 x - 1 ) Usando la identidad $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 $sen$ x ( cos 2 x - ( cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) ) ) $sen$ x ( cos 2 x - cos 2 ( x ) - sen 2 ( x ) ) Simplificando $sen$ x ( - sen 2 ( x ) ) $-$ sen 3 ( x ) Ejemplo 2: Simplificar: $$\mathrm{sen}$$ x + cot x cos x Solución: $$\mathrm{sen}$$ x + cot x cos x Reescribiendo cot(x) = cos(x)/sen(x) $$\mathrm{sen}$$ x + cos x sen x cos x $$\frac{{\mathrm{sen}}^2}{}$$ x + cos2 x sen x Usando la identidad $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 $$\frac{1}{}$$ sen x Ejemplo 3: Simplificar: $$\frac{}{}$$ x csc x + cos x sec x Solución: $$\frac{}{}$$ x csc x + cos x sec x Reescribiendo sec(x) y csc(x) en términos de seno y coseno $$\frac{}{}$$ x 1 sen x + cos x 1 cos x $${}^{}$$ 2 x + cos 2 x Usando la identidad $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 $$1$$ Ejemplo 4: Simplificar: $$\frac{}{}$$ + tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) - 1 Solución: $$\frac{}{}$$ + tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) - 1 Reescribiendo tan(x) y sec(x) en términos de seno y coseno $$\frac{}{}$$ + sen2 x cos2 x 1 cos2 x - 1 $$\frac{2}{{}^{}}$$ cos 2 x + sen 2 x cos 2 x 1 cos 2 x - 1 $$2$$ cos 2 x + sen 2 x - 1 $$cos$$ 2 x + cos 2 x + sen 2 x - 1 $${}^{}$$ 2 x + cos 2 x + sen 2 x - 1 Usando la identidad $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 $${}^{}$$ 2 x + 1 - 1 Simplificando $${\cos }^{}$$ 2 x Verificación de Identidades Trigonométricas Verificar una identidad trigonométrica consiste en demostrar que efectivamente ambos lados de la igualdad son equivalentes. Usaremos operaciones algebraicas e identidades trigonométricas conocidas para convertir uno de los lados de la ecuación exactamente en la forma en que está expresado el otro lado de la ecuación. Ejemplo 1: Verificar: $$\frac{}{}$$ 2 ( x ) -1 sec 2 ( x ) = sen 2 ( x ) Solución: Partiendo del lado izquierdo de la ecuación $$\frac{}{}$$ 2 ( x ) -1 sec 2 ( x ) Reescribiendo sec(x) en términos de coseno $$\frac{}{}$$ cos2 x - 1 1 cos2 x $$\frac{}{}$$ - cos 2 x cos 2 x 1 cos 2 x $$\frac{}{}$$ - cos 2 x cos 2 x 1 cos 2 x Simplificando $$1$$ - cos 2 x Usando la identidad $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 $$cos$$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) - cos 2 x Simplificando obtenemos el lado derecho de la ecuación $${\mathrm{sen}}^{}$$ 2 x Ejemplo 2: Verificar: $$\frac{}{}$$ 1- sen ( x ) + 1 1+ sen ( x ) = 2 sec 2 ( x ) Solución: Partiendo del lado izquierdo de la ecuación $$\frac{}{}$$ 1- sen ( x ) + 1 1+ sen ( x ) Combinando las fracciones $$\frac{}{}$$ + sen ( x ) + 1 - sen ( x ) 1 - sen ( x ) 1 + sen( x ) Simplificando $$\frac{}{}$$ 1 - sen2 ( x ) Usando la identidad $cos$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1 $$\frac{}{}$$ cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) - sen2 ( x ) Simplificando $$\frac{}{}$$ cos 2 ( x ) Usando la definición de sec(x) obtenemos el lado derecho de la ecuación $$2$$ sec 2 ( x )
31-4	MAYO-JUNIO	Relaciones Fundamentales deducción y demostración
13-18	JUNIO	Demostración de identidades
20-25	JUNIO	Solución de Ecuaciones trigonometricas Cómo resolver ecuaciones trigonométricas Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene una o varias funciones trigonométricas de la variable trigonométrica del arco x. Despejar “x” significa encontrar los valores de los arcos trigonométricos, cuyas funciones trigonométricas hacen que la ecuación trigonométrica sea correcta. Las respuestas, o valores de los arcos de solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos: x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45⁰; x = 37,12⁰; x = 178,37⁰ Nota: en la circunferencia trigonométrica o circunferencia unitaria, las funciones trigonométricas de cualquier arco son las mismas funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. La circunferencia unitaria define todas las funciones trigonométricas del arco variable x. También, se usa como demostración en la resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas: sen x + sen 2x = 1/2; tg x + cotg x = 1,732; cos 3x + sen 2x = cos x; 2sen 2x + cos x = 1 . La circunferencia unitaria. Es una circunferencia con radio = 1 unidad y O como origen. La circunferencia unitaria define 4 funciones trigonométricas principales del arco variable x que rota en sentido antihorario en él. Cuando el arco con valor x varía en la circunferencia unitaria: El eje horizontal OAx define la función trigonométrica f(x) = cos x. El eje vertical OBy define la función trigonométrica f(x) = sen x. El eje vertical AT define la función trigonométrica f(x) = tg x. El eje horizontal BU define la función trigonométrica f(x) = cotg x. La circunferencia unitaria también se usa para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas teniendo en cuenta las distintas posiciones del arco x en esta circunferencia. Anuncio Pasos 1 Conoce el concepto de resolución. Para resolver una ecuación trigonométrica, transfórmala en una o en varias ecuaciones trigonométricas básicas. Finalmente, la resolución de ecuaciones trigonométricas da como resultado la resolución de 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas. Anuncio 2 Conoce cómo resolver ecuaciones trigonométricas básicas. Existen 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas: sen x = a ; cos x = a tg x = a ; cotg x = a Resolución de los procedimientos de las ecuaciones trigonométricas básicas mediante el estudio de distintas posiciones del arco x en la circunferencia unitaria y mediante el uso de la tabla de conversión trigonométrica o calculadora. Para saber completamente cómo resolver estas ecuaciones trigonométricas básicas y similares, lee el libro titulado: "Trigonometry: Solving trig equations and inequalities" ("Trigonometría: Resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas") (Amazon E-book 2010). Ejemplo 1: resuelve sen x = 0,866. La tabla de conversión o calculadora te da x = Pi/3 como respuesta. La circunferencia unitaria da otro arco (2Pi/3) que tiene el mismo valor del seno (0,866). Además, la circunferencia unitaria da una infinidad de respuestas que se denominan soluciones extendidas. x1 = Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi)) x1 = Pi/3 + 2k Pi, y x2 = 2Pi/3 + 2k Pi (soluciones extendidas) Ejemplo 2: resuelve: cos x = -1/2. La calculadora da x = 2 Pi/3 como resultado. La circunferencia unitaria da otro resultado x = -2Pi/3. x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = - 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi)) x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, y x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi (soluciones extendidas) Ejemplo 3: resuelve: tg (x - Pi/4) = 0. x = Pi/4; (solución) x = Pi/4 + k Pi; (soluciones extendidas) Ejemplo 4: resuelve cotg 2x = 1,732. La calculadora y la circunferencia unitaria dará como resultado cotg 2x = 1,732. x = Pi/12; (solución) x = Pi/12 + k Pi; (soluciones extendidas) 3 Aprende las transformaciones que se usan para resolver ecuaciones trigonométricas. Para transformar una ecuación trigonométrica dada en una trigonométrica básica, usa transformaciones algebraicas comunes (factorización, factor común, identidades polinómicas...), definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. Existen aproximadamente 31, de las cuales las últimas 14 identidades trigonométricas, de la 19 a la 31, se denominan identidades de transformación, ya que se usan en la transformación de ecuaciones trigonométricas. Lee el libro mencionado anteriormente. Ejemplo 5: la ecuación trigonométrica: sen x + sen 2x + sen 3x = 0 se puede transformar en un producto de ecuaciones trigonométricas básicas con el uso de identidades trigonométricas: 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. Las ecuaciones trigonométricas básicas que hay resolver son: cos x = 0 ; sen (3x/2) = 0 ; y cos (x/2) = 0. 4 Halla los arcos cuyas funciones trigonométricas se conocen. Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debes saber cómo hallar rápidamente los arcos cuyas funciones trigonométricas se conocen. Las tablas trigonométricas y las calculadoras dan los valores de conversión de los arcos, o ángulos. Ejemplo: después de resolver, tendrás cos x = 0,732. Las calculadoras dan el arco de solución x = 42,95⁰. La circunferencia unitaria dará otros arcos de solución con el mismo valor del coseno. 5 Grafica los arcos de solución en la circunferencia unitaria. Puedes graficar o ilustrar los arcos de solución en la circunferencia unitaria. Los puntos extremos de estos arcos de solución constituyen polígonos regulares en la circunferencia unitaria. Ejemplos: Los puntos extremos de los arcos de solución x = Pi/3 + k.Pi/2 constituyen un cuadrado en la circunferencia unitaria. Los arcos de solución x = Pi/4 + k.Pi/3 se representan mediante los vértices de un hexágono regular en la circunferencia unitaria. 6 Aprende los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. Si la ecuación trigonométrica dada contiene una sola función trigonométrica, resuélvela como una ecuación trigonométrica básica. Si la ecuación trigonométrica dada contiene dos o más funciones trigonométricas, existen 2 métodos para la resolución, según la posibilidad de transformación. A. Método 1 Transforma la ecuación trigonométrica dada en un producto en la forma: f(x).g(x) = 0 o f(x).g(x).h(x) = 0, en la cual f(x), g(x) y h(x) son ecuaciones trigonométricas básicas. Ejemplo 6: resuelve: 2cos x + sen 2x = 0. (0 < x < 2Pi). Solución: en la ecuación, reemplaza sen 2x por el uso de la identidad: sen 2x = 2*sen x*cos x. cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*( sen x + 1) = 0. Luego, resuelve las 2 funciones trigonométricas básicas: cos x = 0, y (sen x + 1) = 0. Ejemplo 7: resuelve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi). Solución: transfórmalo en un producto con el uso de identidades trigonométricas: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Después, resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2cos x + 1) = 0. Ejemplo 8: resuelve: sen x - sen 3x = cos 2x. (0 < x < 2Pi). Solución: transfórmalo en un producto mediante el uso de identidades trigonométricas: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Luego, resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2sen x + 1) = 0. B. Método 2 Transforma la ecuación trigonométrica dada en una ecuación trigonométrica con una sola función trigonométrica como variable. Existen unos cuantos consejos sobre cómo seleccionar la variable adecuada. Las variables comunes a seleccionar son: sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t y tg (x/2) = t. Ejemplo 9: resuelve: 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0 < x < 2Pi). Solución: en la ecuación, reemplaza (cos^2 x) por (1 - sen^2 x), luego simplifica la ecuación: sen^2 x - 2 - 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Calcula sen x = t. La ecuación se convierte en: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación trigonométrica con 2 raíces reales: t1 = -1 y t2 = 9/5. Se rechaza el segundo t2 ya que es > 1. Después, resuelve: t = sen = -1 --> x = 3Pi/2. Ejemplo 10: resuelve: tg x + 2 tg^2 x = cotg x + 2. Solución: calcula tg x = t. Transforma la ecuación dada en una ecuación con t como variable: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Despeja t de este producto, luego resuelve la ecuación trigonométrica básica tg x = t for x. 7 Resuelve tipos especiales de ecuaciones trigonométricas. Existen unos cuantos tipos especiales de ecuaciones trigonométricas que requieren algunas transformaciones específicas. Ejemplos: a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c ; a*sen^2 x + b*sen x*cos x + c*cos^2 x = 0. 8 Aprende la propiedad periódica de las funciones trigonométricas. Todas las funciones trigonométricas son periódicas, lo que significa que regresan al mismo valor después de una rotación por un periodo. Ejemplos: La función f(x) = sen x tiene 2Pi como periodo. La función f(x) = tg x tiene Pi como periodo. La función f(x) = sen 2x tiene Pi como periodo. La función f(x) = cos (x/2) tiene 4Pi como periodo. Si se especifica el periodo en el problema o prueba, solo tienes que hallar el o los arcos de solución x dentro de este periodo. NOTA: resolver ecuaciones trigonométricas es un trabajo complicado que a menudo conlleva a errores. Por lo tanto, las soluciones deben revisarse con mucho cuidado. Después de resolver, puedes revisar las soluciones mediante el uso de una calculadora gráfica para graficar directamente la ecuación trigonométrica dada R(x) = 0. Las soluciones (raíces reales) estarán en decimales. Por ejemplo, Pi se expresará en el valor de 3,14.
27-2	JUNIO-JULIO	Geometría Analitica Coordenadas de un vector Módulo Vector unitario Suma Resta Producto de un vector por un escalar Producto escalar de vectores Expresión analítica del producto escalar Expresión analítica del módulo de un vector Expresión analítica del ángulo de dos vectores Expresión analítica de la ortogonalidad de dos vectores Proyección Combinación lineal de vectores Sistema de referencia Distancia entre dos puntos Coordenadas del punto medio Simétrico de un punto División de un segmento Puntos alineados Coordenadas del baricentro Ecuaciones de la recta Vectorial Paramétricas Continua Pendiente Punto-pendiente General Explícita Canónica o segmentaria Que pasa por dos puntos Paralelas al eje OX Paralelas al eje OY Rectas paralelas Rectas perpendiculares Posiciones relativas Secantes Paralelas Coincidentes Ángulo que forman dos rectas Distancia de un punto a una recta Ecuaciones de las bisectrices Ecuación de la mediatriz Cónicas Ecuación de la circunferencia Ecuación reducida Ecuación de la elipse Excentricidad Ecuación reducida De eje vertical De eje horizontal y centro distinto al origen De eje vertical y centro distinto al origen Ecuación de la hipérbola Excentricidad Asíntotas Ecuación reducida F'(-c,0) y F(c,0) De eje vertical F'(0, -c) y F(0, c) De eje horizontal y centro distinto al origen Donde A y B tienen signos opuestos. De eje vertical y centro distinto al origen Hipérbola equilátera Asíntotas ,  Excentricidad Referida a sus asíntotas Ecuación de la parábola Ecuación reducida de la parábola De ejes el de abscisas y de vértice (0, 0) De ejes el de ordenadas y de vértice (0, 0) Paralela a OX y vértice distinto al origen Paralela a OY, y vértice distinto al origen
5-9	JULIO	Distancia entre dos puntos

11-16	JULIO-	Ecuación de la Recta
18	JULIO